fractal

คุณสมบัติสำคัญของ fractal หรือ "ความคล้ายตนเอง" (self-similarity)นั่นคือ โครงสร้างเศษส่วนที่ขยายตัวออกไปไม่สิ้นสุดไม่ว่าจะเป็นมิติกาละ(time) หรือ มิติเทศะ(space)ล้วนแต่มีรูปร่างคล้ายคลึงซ้ำกับแบบแผน(pattern)อันแรกอันเป็นแม่แบบของมันBenoit Mandelbrot ผู้ค้นคว้าทฤษฎีไร้ระเบียบทางคณิตศาสตร์ สรุปความเชื่อมโยงแนบแน่นระหว่างคณิตศาสตร์เศษส่วนกับ ทฤษฎีไร้ระเบียบไว้ดังนี้ความสัมพันธ์ระหว่างรูปร่างและเศษส่วน (fractal) กับระบบที่ไร้ระเบียบ (chotic system)เกิดจากคุณสมบัติที่บอกว่า การเปลี่ยนแปลงที่ขึ้นต่อ(depend)ความอ่อนไหวอย่างยิ่งยวดของเงื่อนไขเบื้องต้น (initial condition)ประกอบกับการพัฒนาลักษณะพลวัตอันซับซ้อนและยอกย้อนกลับไปกลับมา ทำให้เศษส่วนแต่ละอัน ไม่เหมือนกันร้อยเปอร์เซ็นต์ รูปลักษณ์แต่ละอันจะมีความคลาดเคลื่อนไปบ้าง เช่น ปุยเมฆแต่ละก้อน ต้นไม้แต่ละต้น ใบไม้แต่ละใบ หัวใจแต่ละดวง และ สมองแต่ละก้อน ย่อมแตกต่างกันไปบ้าง อย่างไรก็ตาม เมื่อเราพิจารณาก็รู้ทันทีว่านี่คือต้นมะม่วง นี่คือต้นมังคุด นี่คือใบโพธิ์ เป็นต้น และนี่เป็นสิ่งที่ฤษฎีไร้ระเบียบพยายามตอบคำถามว่า ทำไมเกล็ดหิมะแต่ละเกล็ดที่โปรยปรายลงมาจึงมีความแตกต่างกันไปเล็กน้อย
ก็เนื่องจากตัวแปรที่มีอิทธิพลต่อการเกิดเกล็ดหิมะแต่ละเกล็ดต่างกันการค้นคว้าในมิติเศษส่วน (fractal) จึงมิใช่การนิยามสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ประดิษฐ์ ขึ้นมาเอง แต่เป็นการนำเสนอให้เห็นคุณสมบัติอันแท้จริงของสภาพแวดล้อมในระดับต่างๆ ตั้งแต่ขนาดจิ๋ว(micro)จนถึงขนาดยักษ์(macro) ซึ่งปรากฎอยู่ในโลกการพัฒนาที่ดำเนินไปในลักษณะเศษส่วนและไร้ระเบียบนั้น น่าสนใจ มิใช่เพียงว่าได้แสดงให้เห็นโครงสร้างที่ไม่สม่ำเสมอ ในระบบพลวัตที่ไม่เป็นเส้นตรงเท่านั้น ความสำคัญอีกข้อหนึ่งซึ่งจะมีประโยชน์ในการสังเกตุดูแบบแผนของสรรพสิ่งบนโลก(รวมทั้งสังคม) คือ โครงสร้างไร้ระเบียบ (chotic structure) เป็นโครงสร้างพื้นฐานของกระบวนการสร้างสรรค์ในธรรมชาติ ธรรมชาติมีพลังในการสร้างสรรค์ในการจัดตั้งรูปแบบอย่างมหัศจรรย์ เมื่อได้สร้างแม่แบบเบื้องต้นขึ้นแล้วรูปแบบอื่นก็จะลอกเลียนตามมา นักวิจัยไร้ระเบียบเรียกเศษส่วนคล้ายธรรมชาติว่า "ภาษาธรรมชาติ" พวกเขาเชื่อว่าวิธีการและรูปแบบที่เรขาคณิตเศษส่วน และ ทฤษฎีไร้ระเบียบ ได้ถ่ายทอดความเป็นจริงของโลกออกมานั้น พอจะกล่าวได้ว่า ทฤษฎีไร้ระเบียบ เป็นเสาหลักของโลกทัศน์ใหม่ได้ และ ความสำคัญของเศษส่วน (fractal) ในการวิจัย คือ การช่วยทำให้เข้าใจ "จุดดึงดูดไร้ระบียบ (chotic attractors)ได้ดีขึ้นเพราะมันมีโครงสร้างแบบเศษส่วน(fractal structure) อยู่ในนั้น